松代一本葱の種を蒔いたところ、発芽はしたものの枯れてしまいました。

葱の種を蒔いて発芽はしたが枯れてしまったとのことですが、
ご自分でお疑いの通り、立ち枯れ病が1番可能性が高いと思われます。
他の作物と同様、リゾクトニア菌などが繁殖して、植物の導管を塞いでしまうため、そこから上が枯れてしまうという現象です。
有機腐植物が多かったり、過湿であったり、温度が30℃位が繁殖しやすいため、そのような条件で出やすくなるようです。
事前にクロールピクリンやバスアミドで土壌消毒をしておくか、
既に出てしまった所には、ダコニール1000を1000倍にして、ジョロで水をくれるように土壌灌注するか、
出やすい条件にならないように、育苗するか、という対策になるかと思います。